Téma: Pytagorova veta a jej dôkazy
Ciele: rozvoj konvergentného myslenia a tvorivosti žiakov
Vypracoval: Peter Kvokačka
Pytagorova veta:
V každom pravouhlom trojuholníku sa obsah štvorca nad preponou rovná súčtu obsahov štvorcov nad obidvoma odvesnami.

Ako dokázať Pytagorovu vetu?

Rozbité domino Dokážeme si Pytagorovu vetu pomocou domina! Pozrite si pozorne nasledujúce obrázky. Vhodným premiestnením časti červeného štvorca dostávame geometrickú interptretáciu Pytagorovej vety.

Jednoduchý dôkaz right triangle ABC V tomto dôkaze využijeme podobnosť trojuholníkov ABC, CBX a ACX (podľa obrázku):

Z podobnosti trojuholníkov ABC a CBX máme a/x=c/a alebo a²=cx. A z podobnosti trojuholníkov ABC a ACX máme b/(c-x)=c/b alebo b²=c²-cx alebo c²=cx+b². Dosadením a² za cx, dostávame c²=a²+b². Čo sme chceli dokázať.

Podobný dôkaz s využitím Euklidových viet o odvesne Z obrázku vidiet, že trojuholníky ABC , BCP, ACP sú pravouhlé. Pri obvyklom značení v trojuholníku ABC máme potom strany a,b,c. Ak označíme úsek BP=x a úsek AP=y dostávame x + y = c.
Potom z Euklidovej vety o odvesne dostávame a² = xc a b² = yc.
Nakoniec a2 + b2 = xc + yc = c2, Q.E.D.




Klasický "knižný" dôkaz Garfield's proof Z obsahu lichobežníka dostávame S = 1/2 (a+b) . (b+a). Tento lichobežník je zložený z troch trojuholníkov. Sčítaním obsahu týchto trojuholníkov dostávame S` = 1/2 ab + 1/2 ab + 1/2 c².

Z toho, že S = S` máme 1/2 a² + ab + 1/2 b² = ab + 1/2 c² .

Ďalej 1/2 a² + 1/2 b² = 1/2 c² a nakoniec po prenásobení rovnice 2 máme a² + b² = c² .



Euklidov dôkaz V dôkaze využijeme rovnosť obsahu trojuholníkov. Vo všetkých nasledujúcich obrázkoch majú modré trojuholníky rovnakú veľkosť.
Prechod z 1obr. na 2 obr. modré trojuholníky majú zhodnú základňu a výšku a teda aj obsah. Prechod z 2obr. na tretí využili sme otočenie čo je zhodné zobrazenie a teda zachováva veľkosti a teda obsah modrých trojuholníkov je rovnaký.
Prechod z 4obr. na 5 obr. modré trojuholníky majú zhodnú základňu a výšku a teda aj obsah. Celý postup zopakujeme aj so zeleným trojuholníkom.

Teda prešli sme od prvého obrázku kde sme zobrali polovice štvorcov nad odvesnami až k poslednému obrázku, kde máme týmito plochami vyplnenú polovicu štvorca nad preponou. Q.E.D.

Pozrite si celý dôkaz
"Skladačkový" dôkaz square with 4 right triangles in it Tvrdenie Pytagorovej vety ukážeme pre "zlatý" trojuholník na prvom obrázku.

Preskupením štyroch zhodných trojuholníkov z prvého obrázku dostávame druhý obrázok so veľkým štvorcom o strane rovnakej dĺžky ako na prvom obrázku.(a teda sú to štvorce s rozvnakým obsahom)

Z prvého obrázku pre obsah štvorca dostávame:
S=2ab + c²


Z druhého obrázku pre obsah štvorca dostávame:
S=2ab + a² + b²

Porovnaním obsahov dostávame:
2ab + c²=2ab + a² + b²

Nakoniec c²=a² + b² čo sme chceli dokázať. Q.E.D.


Štvorec vo štvorci square with four triangles Obrázok pozostáva zo štyroch trojuholníkov s rovnakým obsahom St=1/2 ab. A z malého štvorca o strane (a-b) teda s obsahom Ss=(a-b)².

Teda obsah veľkého štvorca S = 4 St + Ss.
A súčasne obsah veľkého štvorca je S = c².

Z toho dostávame c² = 2ab + (a-b)² = 2ab + a² - 2ab + b² = a² + b², čo sme chceli dokázať. Q.E.D.

Dva trojuholníky Na obrázku máme dva zhodné trojuholníky ABC a DEF. Všimnime si, že AB  DE. Označme BC = EF = a,AC = DF = b, AB= DE = c. Máme dve možnosti na výpočet obsahu ADE.

Obsah(ADE) = AB·DE/2 = c2/2
a
Obsah(ADE) = DF·AE/2 = b·AE/2. AE = AC + CE = b + CE.

CE vypočítame z podobnosti trojuholníkov BCE, DFE:
CE = BC·FE/DF = a·a/b.

Dosadením dostávame: c2/2 = b(b + a2/b)/2 a teda c2 = b2 + a2, Q.E.D.

 

Úlohy

Pokúste sa dokázať tvrdenie Pytagorovej vety na základe nasledujúcich obrázkov.





Dokážte tvrdenie Pytagorovej vety na základe nasledujúcich obrázkov a svoje tvrdenie odôvodnite.



Linky:




Created by kvoki ©2001
web:www.kvp.szm.sk